[抱負] - べれ野日記

久しぶりに、ダブルクロスの達成値の平均値を求めるプログラムをschemeで書く、です。

なんかもう久しぶり過ぎて良く覚えていない上に、色々考え方が変わってきたので、別手法でいくことにします。
…気にするな、きっとこういう方向転換がまだまだある（もしくは抱負自体が風化する）。

ファンブル時の計算を忘れていたため、修正。

ダブルクロスで能力値1、技能0、クリティカル値10、エフェクトは使用しない。

上記の場合、達成値の平均値は以下のように算出される。
出た目が1〜9の場合、その目が出る確率に出た目を掛け合わせる。
プログラムで書くと以下の様になる。

(+ (/ 1 10) (/ 2 10) (/ 3 10) (/ 4 10) (/ 5 10) (/ 6 10) (/ 7 10) (/ 8 10) (/ 9 10) )

出た目が10の場合、その目が出る確率に出た目を掛け合わせたものに、クリティカル分が加算される。

(+ (/ 10 10) (/ x 10)) ; xがクリティカル分

まとめると下記の様になる

(+ (/ 1 10) (/ 2 10) (/ 3 10) (/ 4 10) (/ 5 10) (/ 6 10) (/ 7 10) (/ 8 10) (/ 9 10)
  (/ 10 10) (/ x 10)) ; xがクリティカル分

↓

(+ (/ (+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10) 10.0)
  (/ x 10.0)) ; xがクリティカル分

↓

(+ 5.5 (/ x 10.0)) ; xがクリティカル分

ここで、xはもとめる平均値そのものである。
（再帰的にずっと続く）

…なんかよくまとまんないんだけど、下記の様になる。

(+
  5.5
  (/ 5.5 10 )
  (/ 5.5 100 )
  (/ 5.5 1000 )
  (/ 5.5 10000 )
  ; ずっと続く。
)

↓

(+
  (/ 5.5 (expt 10 0))
  (/ 5.5 (expt 10 1))
  (/ 5.5 (expt 10 2))
  (/ 5.5 (expt 10 3))
  (/ 5.5 (expt 10 4))
  ; ずっと続く。
)

このexptは累乗関数。
これは初項5.5、公比0.1の無限等比級数に等しくなる。
無限等比級数の和の公式から、

(/ 5.5 (- 1 0.1))
; => 6.111111111111111

が求める平均値になる。
で、実際の判定では最初の１回で1が出た場合はファンブルである。
（１回でもクリティカルした後の1はファンブルでは無い）
ファンブル（絶対失敗）時の扱いをとりあえず達成値0とすると（異論はあるかもしれないけど1ではないのは確か）、
最初の１回で1が出る可能性×その時の出目（当然1）をこの平均値から引く。

(- (/ 5.5 (- 1 0.1)) (/ 1 10.0))
; => 6.011111111111111

これが正しい平均値である。

同様に能力値1、技能0、クリティカル値9、エフェクトは使用しないケース。

これは初項5.6（ダイス目9の場合は10として扱うため）、公比0.2（クリティカル率があがる）の無限等比級数に等しくなる。

(/ 5.6 (- 1 0.2))
; => 6.999999999999999

となる。

同様に、上記とクリティカル値のみが異なるケースを列挙する。

(/ (+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10) 10.0)		;クリティカル値が10の場合の初項	5.5
(/ (+ 1 2 3 4 5 6 7 8 10 10) 10.0)		;クリティカル値が9 の場合の初項	5.6
(/ (+ 1 2 3 4 5 6 7 10 10 10) 10.0)		;クリティカル値が8 の場合の初項	5.8
(/ (+ 1 2 3 4 5 6 10 10 10 10) 10.0)		;クリティカル値が7 の場合の初項	6.1
(/ (+ 1 2 3 4 5 10 10 10 10 10) 10.0)		;クリティカル値が6 の場合の初項	6.5
(/ (+ 1 2 3 4 10 10 10 10 10 10) 10.0)		;クリティカル値が5 の場合の初項	7.0
(/ (+ 1 2 3 10 10 10 10 10 10 10) 10.0)		;クリティカル値が4 の場合の初項	7.6
(/ (+ 1 2 10 10 10 10 10 10 10 10) 10.0)	;クリティカル値が3 の場合の初項	8.3
(/ (+ 1 10 10 10 10 10 10 10 10 10) 10.0)	;クリティカル値が2 の場合の初項	9.1

(/ 5.5 (- 1 0.0))	;クリティカル値が11の場合の平均値 => 5.5
(/ 5.5 (- 1 0.1))	;クリティカル値が10の場合の平均値 => 6.111111111111111
(/ 5.6 (- 1 0.2))	;クリティカル値が9 の場合の平均値 => 6.999999999999999
(/ 5.8 (- 1 0.3))	;クリティカル値が8 の場合の平均値 => 8.285714285714286
(/ 6.1 (- 1 0.4))	;クリティカル値が7 の場合の平均値 => 10.166666666666666
(/ 6.5 (- 1 0.5))	;クリティカル値が6 の場合の平均値 => 13.0
(/ 7.0 (- 1 0.6))	;クリティカル値が5 の場合の平均値 => 17.5
(/ 7.6 (- 1 0.7))	;クリティカル値が4 の場合の平均値 => 25.33333333333333
(/ 8.3 (- 1 0.8))	;クリティカル値が3 の場合の平均値 => 41.500000000000014
(/ 9.1 (- 1 0.9))	;クリティカル値が2 の場合の平均値 => 91.00000000000001

（面倒なのでファンブル時の修正は後回し）

次に、もう少し一般化する。

公比は(/ (- 11 cr) 10.0)である（crはクリティカル値）。
初項は5.5に、以下の等比数列の和の十分の一を加算したものである。

初項0、項数(- 10 cr)、公差1
等比数列の和の公式から、この部分は(/ (* (- 10 cr) (+ (- 10 cr) 1)) 2)になる

すなわち、初項は(+ 5.5 (/ (/ (* (- 10 cr) (+ (- 10 cr) 1)) 2) 10.0))となる

と言うわけで、クリティカル値を引数にとる関数を定義してみる。

(define (roll-1dice cr)
  (/ 
   (+ 5.5 (/ (/ (* (- 10 cr) (+ (- 10 cr) 1)) 2) 10.0))	; 初項の部分
   (- 1 
	  (/ (- 11 cr) 10.0)		; 公比の部分
	  )))

実行結果

gosh> (define (roll-1dice cr)
  (-
   (/ 
	(+ 5.5 (/ (/ (* (- 10 cr) (+ (- 10 cr) 1)) 2) 10.0))	; 初項の部分
	(- 1 
	   (/ (- 11 cr) 10.0)		; 公比の部分
	   )
	)
   (/ 1 10.0)		; ファンブル時の分を減算する
   )
  )

roll-1dice
gosh> (roll-1dice 10)

6.011111111111111
gosh> (roll-1dice 9)
6.8999999999999995
gosh> (roll-1dice 8)
8.185714285714287
gosh> (roll-1dice 7)
10.066666666666666
gosh> (roll-1dice 6)
12.9
gosh> (roll-1dice 5)
17.4
gosh> (roll-1dice 4)
(roll-1dice 4)
25.233333333333327
gosh> (roll-1dice 3)
41.40000000000001
gosh> (roll-1dice 2)
90.90000000000002